Question

菱形ABCD的边长为2，∠A=

π

3

，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则

AM

•

AN

的最大值为

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,平面向量及应用

分析：先以点A为坐标原点建立直角坐标系，求出其它各点的坐标，然后利用点的坐标表示出

AM

•

AN

，把所求问题转化为在平面区域内求线性目标函数的最值问题求解即可．

解答： 解：：以点A为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，
由于菱形ABCD的边长为2，∠A=

π

3

，M为DC的中点，
故点A（0，0），则B（2，0），C（3，

3

），D（1，

3

），
M（2，

3

）．
设N（x，y），N为平行四边形内（包括边界）一动点，
对应的平面区域即为平行四边形ABCD及其内部区域．
因为

AM

=（2，

3

），

AN

=（x，y），则

AM

•

AN

=2x+

3

y，
结合图象可得当目标函数z=2x+

3

y 过点C（3，

3

）时，
z=2x+

3

y取得最大值为9，
故答案为：9．

点评：题主要考查向量在几何中的应用以及数形结合思想的应用和转化思想的应用，是对基础知识和基本思想的考查，属于中档题．