Question

已知函数f（x）=4x|x|-1，给出如下结论：
①f（x）是R上的单调递增函数；
②对于任意x∈R，f（x）+f（-x）=-2恒成立；
③函数y=f（x）-2x+1恰有三个零点x₁，x₂，x₃，且x₁+x₂+x₃=0．
其中正确结论的个数为（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考点：分段函数的应用,函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：①作出函数f（x）的图象，结合二次函数的单调性即可是R上的单调递增函数；
②根据条件确定函数关于点（0，-1）对称，即可证明对于任意x∈R，f（x）+f（-x）=-2恒成立；
③根据数形结合结合函数的对称性即可得到结论．

解答： 解：f（x）=4x|x|-1=

4x2-1， x≥0 -4x2-1， x＜0

，
分别画出当x≥0和x＜0的函数图象，它们分别是抛物线的一部分．如图所示．
观察图象可知：
①f（x）是R上的单调递增函数； 正确；
②图象关于点（0，-1）对称，故对于任意x∈R，f（x）+f（-x）=-2恒成立；正确；
③由y=f（x）-2x+1=0得f（x）=2x-1，
作出函数y=2x-1的图象，由图象可知两个函数有3个交点，
且其中一个零点为0，另外两个交点关于（0，-1）对称，
则x₁+x₂+x₃=0；正确．
故其中正确的结论为 ①②③．
故选：D

点评：本小题主要考查分段函数、函数单调性的应用、函数对称性的应用、带绝对值的函数等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．