Question

已知定义域为R的函数f（x）=

ex-1

aex+1

是奇函数．
（1）求a的值；
（2）判断f（x）的单调性，并用定义证明你的结论．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）函数f（x）=

ex-1

aex+1

是奇函数．可得f（-x）+f（x）=

e-x-1

ae-1+1

+

ex-1

aex+1

=0，化简解出即可；
（2）利用函数单调性的定义与指数函数的单调性即可证明．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=

ex-1

aex+1

是奇函数．
∴f（-x）+f（x）=

e-x-1

ae-1+1

+

ex-1

aex+1

=0，
化为（1-a）（e^x-1）²=0，
∴1-a=0，
解得a=1．
∴f（x）=

ex-1

ex+1

．
经过验证a=1时，函数f（x）是R上的奇函数．
（2）f（x）=1-

2

ex+1

．
函数f（x）是R上的单调递增函数．
证明：?x₁＜x₂，0＜ex1＜ex2．
则f（x₁）-f（x₂）=1-

2

ex1+1

-(1-

2

ex2+1

)
=

2(ex1-ex2)

(ex1+1)(ex2+1)

＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）是R上的单调递增函数．

点评：本题考查了函数的奇偶性、单调性与指数函数的单调性，属于基础题．