Question

过抛物线y²=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则|AF|•|BF|的最小值是（　　）

• A．2
• B．

  2

• C．4
• D．2

  2

Answer 1

分析：由抛物线y²=4x与过其焦点（1，0）的直线方程联立，消去y整理成关于x的一元二次方程，设出A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点坐标，再依据抛物线的定义得出|AF|•|BF|=x₁x₂+x₁+x₂+1，由韦达定理可以求得答案．

解答：解：由题意知，抛物线y²=4x的焦点坐标为（1，0），
当斜率k存在时，设直线AB的方程为y=k（x-1），
由

y2=4x  y=k(x-1)

⇒k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
设出A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）
则 x1+x2=

2k2+4

k2

，x₁x₂=1．
依据抛物线的定义得出|AF|•|BF|=（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+x₁+x₂+1，
∴|AF|•|BF|=

2k2+4

k2

+2=4+

4

k2

＞4．
当斜率k不存在时，|AF|•|BF|=2×2=4．
则|AF|•|BF|的最小值是4．
故选C．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系，解决问题的关键是联立抛物线方程与过其焦点的直线方程，利用韦达定理予以解决，属于基础题．需要注意对斜率不存在的情况加以研究．