Question

已知矩阵M=

-1 2 5 2 3

．
（1）求M的特征值和特征向量；
（2）若向量α=

1 16

，求M³α．

Answer 1

分析：（1）由矩阵M的特征多项式为

.

-1-λ 2 5 2 3-λ

.

=(-1-λ)•(3-λ)-2•

5

2

=0，能求出矩阵M的特征值和对应的特征向量．
（2）由M=

-1 2 5 2 3

，得到M²=

-1 2 5 2 3

 

-1 2 5 2 3

=

6 4 2 14

，M3=

6 4 2 14

 

-1 2 5 2 3

=

4 24 33 46

，从而能求出M³α．

解答：解：（1）∵矩阵M的特征多项式为

.

-1-λ 2 5 2 3-λ

.

=(-1-λ)•(3-λ)-2•

5

2

=0，
∴λ²-2λ-8=0，
解得矩阵M的特征值为：λ=-2，或λ=4．
当λ=-2时，对应的特征向量应满足

-1+2 2 5 2 5

 

x1 x2

 =

0 0

，
∴

x1+2x2=0 5 2 x1+5x2=0

，
解得x₁=-2x₂，
∴对应的特征向量可取为p1=

2 -1

．
当λ=-4时，对应的特征向量应满足

-5 2 5 2 -1

 

x1 x2

 =

0 0

，
∴

-5x1+2x2=0 5 2 x1-x2=0

，
解得5x₁=2x₂，
∴对应的特征向量可取为p2=

2 5

．
（2）∵M=

-1 2 5 2 3

．
∴M²=

-1 2 5 2 3

 

-1 2 5 2 3

=

6 4 2 14

，
∴M3=

6 4 2 14

 

-1 2 5 2 3

=

4 24 33 46

，
∴M³α=

4 24 33 46

 

1 16

=

388 769

．

点评：本题考查特征向量和特征值的求法和矩阵的乘法运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．