Question

已知方程log2

1+sinx

1-sinx

=log2(2sinx+m)，x∈（0，π）有实数解，则实数m的取值范围

（1，+∞）

．

Answer 1

分析：由对数函数的性质化简原方程，得到两真数相等，用sinx表示出m，利用同分母分式加法法则的逆运算适当变形后，利用基本不等式可得出m的范围，再由x的范围，得到sinx不为0，从而得到此范围中的等号不能取，最后得到满足题意的m的范围．

解答：解：原方程化为：

1+sinx

1-sinx

=2sinx+m，
变形得：m=

2sin2x-sinx+1

1-sinx

=2（1-sinx）+

2

1-sinx

-3≥1，
当且仅当2（1-sinx）=

2

1-sinx

，即sinx=0时，取等号，
而x∈（0，π），∴sinx≠0，
∴m＞1，
则实数m的范围为（1，+∞）．
故答案为：（1，+∞）

点评：此题考查了基本不等式的应用，正弦函数的值域以及对数的运算性质，其中基本不等式a+b≥2

ab

，（当且仅当a=b时取等号，且其中a与b必须为正数），本题注意由x的范围，得到sinx≠0，进而得到m≠1．