Question

【题目】已知函数.

（1）当时,求函数在上的最大值和最小值；

（2）设,且对于任意的,试比较与的大小.

Answer 1

【答案】（1）的最大值为，的最小值为；（2）

【解析】

试题分析：（1）当时，，且，,讨论函数在区间上的单调性与极值，与两端点值比较即可求其最大值与最小值；（2）因为，所以的最小值为,设的两个根为，则,不妨设，则，所以有即，令,求导讨论函数的单调性可得，即，可证结论成立.

试题解析：（1）当时，，且，

．

由，得；由，得，

所以函数在上单调递增；函数在上单调递减，

所以函数在区间仅有极大值点，故这个极大值点也是最大值点，

故函数在上的最大值是，

又，

故，故函数在上的最小值为．

（Ⅱ）由题意，函数f（x）在x=1处取到最小值，

又

设的两个根为，则

不妨设，

则在单调递减，在单调递增，故，

又，所以，即，即

令，则令，得,

当时，在上单调递增；

当x时，在（）上单调递减；

因为

故，即，即.