Question

9．已知S_n²-（n²+n-1）•S_n-（n²+n）=0，S_n是a_n的前n项和．求a_n．

Answer 1

分析 将S_n看作是未知数，通过解一元二次方程S_n²-（n²+n-1）•S_n-（n²+n）=0，利用求根公式可知S_n=n²+n或S_n=-1，分两种情况讨论即得结论．

解答 解：∵S_n²-（n²+n-1）•S_n-（n²+n）=0，
∴S_n=$\frac{（{n}^{2}+n-1）±\sqrt{（{n}^{2}+n-1）^{2}+4（{n}^{2}+n）}}{2}$
=$\frac{（{n}^{2}+n-1）±\sqrt{{n}^{4}+2{n}^{3}+3{n}^{2}+2n+1}}{2}$
=$\frac{（{n}^{2}+n-1）±\sqrt{（{n}^{2}+n+1）^{2}}}{2}$
=$\frac{（{n}^{2}+n-1）±（{n}^{2}+n+1）}{2}$，
∴S_n=n²+n或S_n=-1，
下面分情况讨论：
①当S_n=-1时，易知a_n=$\left\{\begin{array}{l}{-1，}&{n=1}\\{0，}&{n≥2}\end{array}\right.$；
②当S_n=n²+n时，
a_n=S_n-S_n-1
=n²+n-[（n-1）²+（n-1）]
=2n（n≥2），
又∵a₁=S₁=2，
∴a_n=2n；
综上所述，a_n=2n或a_n=$\left\{\begin{array}{l}{-1，}&{n=1}\\{0，}&{n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的通项，考查运算求解能力，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．