Question

【题目】已知椭圆：的右焦点与抛物线的焦点重合，曲线与相交于点．

（1）求椭圆的方程；

（2）过右焦点的直线（与轴不重合）与椭圆交于，两点，线段的中点，连接并延长交椭圆于点（为坐标原点），求四边形面积的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）最小值为3．

【解析】

（1）将点带入抛物线方程，可求得的值，进而得焦点坐标；将点代入椭圆方程，并结合椭圆中的等量关系，解方程组求得，即可得椭圆的方程；

（2）方法一：设，，，直线的方程为，联立直线与椭圆方程，由韦达定理表示出，进而由弦长公式表示出弦长；由中点坐标公式表示出的坐标，进而可表示出直线的方程，代入椭圆后求得点坐标，由点到直线距离公式求得到的距离和到的距离，即可表示出四边形面积，即可确定面积的最小值；方法二：当直线斜率不存在时，易得四边形面积，当斜率存在时，设，，直线的方程为，联立直线与椭圆方程，求得点坐标，同上即可.

（1）点在上，

，

，

椭圆的右焦点为，

，解得，

椭圆的标准方程为．

（2）解法一：设，，，

设直线AC的方程为，与椭圆方程联立得，

整理得．

由韦达定理得，，

由弦长公式可得

，

由中点坐标公式可知，，

，

直线OG的方程为，代入，

整理得，

取点，

B到直线AC的距离

，

O到直线AC的距离，

，当且仅当时取得最小值．

综上所述，四边形OABC的面积最小值是3．

解法二：①当斜率不存在时，直线AC的方程为，

此时；

②当直线AC斜率存在时，设为k，

，，

AC的方程为，

与椭圆方程联立，

得，

，

，，

．

的方程为，

联立，得，

不妨设，，

B到直线AC的距离为，

O到直线AC的距离为，

由弦长公式得

，

．

综上所述，当直线AC垂直于x轴时，面积取得最小值为3．