Question

设三次函数，在处取得极值，其图像在处的切线的斜率为。

（1）求证：；

（2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围；

（3）问是否存在实数（是与无关的常数），当时，恒有恒成立？若存在，试求出的最小值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解析：（1），由题设，得     ①

    ②

∵

由①代入②得

得    ③

将代入中，得    ④

由③.④得；      …………5分

（1）       由（1）知， 

∴方程的判别式有两个不等实根，

又，∴

∴当或时，，当时，

∴函数的单调区间是，∴，

由知。

∵函数在区间[s，t]上单调递增，∴[s，t]，

∴，即的取值范围是，    …………10分

（2）       由，即

∵，令，

要使在上恒成立，

只需   即  ，∴或

由题意，得

∴存在实数k满足条件，即k的最小值为。     …………14分