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已知椭圆4x2+y2=1及直线l:y=x+m.
(Ⅰ)当m为何值时,直线l与椭圆有公共点?
(Ⅱ)若直线l被椭圆截得的线段长为
4
2
5
,求直线的方程.
(Ⅲ)若直线l与椭圆相交于A、B两点,是否存在m的值,使得
OA
OB
=0
?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.
分析:(Ⅰ)联立直线方程与椭圆方程,根据对应方程的判别式大于等于0即可求出m的取值范围;
(Ⅱ)联立直线方程与椭圆方程,求出两交点坐标和直线的斜率之间的关系;再结合弦长公式即可求出直线的方程.
(Ⅲ)先联立直线方程与椭圆方程,求出A、B两点坐标和直线的斜率之间的关系;结合
OA
OB
=0
的对应结论即可求出m的值.
解答:解:(Ⅰ)把直线y=x+m代入4x2+y2=1得
5x2+2mx+m2-1=0     ①…(1分)
∴△=4m2-20(m2-1)=-16m2+20≥0
-
5
2
≤m≤
5
2
…(2分)
(Ⅱ)设直线与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,
由①得
x1+x2=-
2m
5
x1x2=
m2-1
5
,…(3分)
∴(x1+x22-4x1x2=(-
2m
5
)2-
4(m2-1)
5
=
-16m2+20
25
…(4分)
|AB|=
(1+k)2[(x1+x2)2-4x1x2]
=
-16m2+20
25
=
4
2
5
…(5分)
解得m=±
1
2
…(6分)
∴所求直线方程为y=x±
1
2
.                                   …(7分)
(Ⅲ)设直线与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,
由①得
x1+x2=-
2m
5
x1x2=
m2-1
5

若存在m的值,使得
OA
OB
=0
,则有x1x2+y1y2=0…(8分)y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m2=
4m2-1
5
…(9分)
m2-1
5
+
4m2-1
5
=0
,解得                                     …(10分)
又由(1)直线和椭圆有公共点,需满足-
5
2
≤m≤
5
2
…(11分)
10
5
5
2

∴存在m=±
10
5
满足题意                                       …(12分)
点评:本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系.解决问题的关键是看清题中给出的条件,灵活运用韦达定理,弦长公式进行求解.
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2
10
5
,求直线的方程.

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已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m.
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5
,求直线方程
y=2x±2
y=2x±2

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