Question

已知点P为椭圆

x2

45

+

y2

20

=1上且位于在第三象限内一点，且它与两焦点连线互相垂直，若点P到直线4x-3y-2m+1=0的距离不大于3，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：设p（x，y），由P与两焦点连线互相垂直，结合题设条件推导出x²+y²=25，再由P为椭圆

x2

45

+

y2

20

=1上且位于在第三象限内一点，联立方程组求出P点坐标，再由P到直线4x-3y-2m+1=0的距离不大于3，根据点到直线距离的公式能求出实数m的取值范围．

解答：解：设p（x，y），
∵椭圆

x2

45

+

y2

20

=1，∴c=5，两焦点F₁=（-5，0），F₂=（5，0），
∵P与两焦点连线互相垂直，
∴kPF1•kPF2=

y

x+5

•

y

x-5

=-1．
∴x²+y²=25，
又∵P为椭圆

x2

45

+

y2

20

=1上且位于在第三象限内一点，
∴解出x=-3，y=-4，∴p（-3，-4）
又∵P到直线4x-3y-2m+1=0的距离不大于3，
∴根据点到直线距离的公式有：

|4×(-3)+(-3)×(-4)-2m+1

42+(-3)2

≤3
整理实数m的取值范围是，得|2m-1|≤15，
解得-7≤m≤8，
∴实数m的取值范围是[-7，8]．
故答案为：[-7，8]．

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查点到直线的距离的求法，是中档题，解题时要注意直线垂直的条件的合理运用．