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如图,设曲线y=e-x(x≥0)在点M(t,e-t)处的切线l与x轴y轴所围成的三角形面积为S(t),求:
(1)切线l的方程;
(2)求证数学公式

解:(1)∵f′(x)=(e-x)′=-e-x,∴切线l的斜率为-e-t
故切线l的方程为y-e-t=-e-t(x-t),即e-tx+y-e-t(t+1)=0
(2)证明:令y=0得x=t+1,又令x=0得y=e-t(t+1),

从而
∵当t∈(0,1)时,S′(t)>0,当t∈(1,+∞)时,S′(t)<0,
∴S(t)的最大值为,即
分析:(1)先求切线斜率,进而可求切线方程;
(2)根据曲线y=e-x(x≥0)在点M(t,e-t)处的切线l与x轴y轴所围成的三角形面积为S(t),表示出S(t),再用导数法求解.
点评:应用导数法求函数的最值,并结合函数图象,可快速获解,也充分体现了求导法在证明不等式中的优越性.
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,过曲线C:y=e-x上一点P0(0,1)做曲线C的切线l0交x轴于Q1(x1,0)点,又过Q1做x轴的垂线交曲线C于P1(x1,y1)点,然后再过P1(x1,y1)做曲线C的切线l1交x轴于Q2(x2,0),又过Q2做x轴的垂线交曲线C于P2(x2,y2),…,以此类推,过点Pn的切线ln与x轴相交于点Qn+1(xn+1,0),再过点Qn+1做x轴的垂线交曲线C于点Pn+1(xn+1,yn+1)(n=1,2,3,…).
(1)求x1、x2及数列{xn}的通项公式;
(2)设曲线C与切线ln及垂线Pn+1Qn+1所围成的图形面积为Sn,求Sn的表达式;
(3)若数列{Sn}的前n项之和为Tn,求证:
Tn+1
Tn
xn+1
xn
(n∈N+).

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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,设曲线y=e-x(x≥0)在点M(t,e-t)处的切线l与x轴y轴所围成的三角形面积为S(t),求:
(1)切线l的方程;
(2)求证S(t)≤
2e

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科目:高中数学 来源:2012-2013学年江苏五校高三下学期期初教学质量调研数学卷(解析版) 题型:解答题

 

A.(几何证明选讲选做题)

如图,已知AB为圆O的直径,BC切圆O于点BAC交圆O于点PE为线段BC的中点.求证:OPPE

B.(矩阵与变换选做题)

已知MN,设曲线y=sinx在矩阵MN对应的变换作用下得到曲线F,求F的方程.

C.(坐标系与参数方程选做题)

在平面直角坐标系xOy中,直线m的参数方程为t为参数);在以O为极点、射线Ox为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρsinθ=8cosθ.若直线m与曲线C交于AB两点,求线段AB的长.

D.(不等式选做题)

xy均为正数,且xy,求证:2x≥2y+3.

 

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图,过曲线C:y=e-x上一点P0(0,1)做曲线C的切线l0交x轴于Q1(x1,0)点,又过Q1做x轴的垂线交曲线C于P1(x1,y1)点,然后再过P1(x1,y1)做曲线C的切线l1交x轴于Q2(x2,0),又过Q2做x轴的垂线交曲线C于P2(x2,y2),…,以此类推,过点Pn的切线ln与x轴相交于点Qn+1(xn+1,0),再过点Qn+1做x轴的垂线交曲线C于点Pn+1(xn+1,yn+1)(n=1,2,3,…).
(1)求x1、x2及数列{xn}的通项公式;
(2)设曲线C与切线ln及垂线Pn+1Qn+1所围成的图形面积为Sn,求Sn的表达式;
(3)若数列{Sn}的前n项之和为Tn,求证:数学公式(n∈N+).

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