Question

（2010•孝感模拟）已知函数

f(x)= e-x-1，(x≤0) |lnx|，(x＞0)

，集合M={x|f[f（x）]=1}，则M中元素的个数为（　　）

A．3个

B．4个

C．6个

D．9个

Answer 1

分析：根据分段函数

f(x)= e-x-1，(x≤0) |lnx|，(x＞0)

的解析式，我们结合集合元素要满足的性质f[f （x）]=1，易通过分类讨论求了所有满足条件的x的值，进而确定集合中元素的个数．

解答：解：①当x＜0时，f（x）=(

1

e

)x-1＞0
由f[f（x）]=|loge[(

1

e

)x-1]|=1，
⇒loge[(

1

e

)x-1]=1或loge[(

1

e

)x-1]=-1
⇒(

1

e

)x-1=e或(

1

e

)x-1=

1

e

，
得x=-ln（e+1）或x=-ln（

1

e

+1）；
②当x＞0且x≠1时，f（x）=|lnx|＞0，
由f[f（x）]=|ln|lnx||=1，得x=e^e，e^-e，e

1

e

 或e-

1

e

；
③当x=1时，f（x）=|ln1|=0，
由f[f（x）]=e⁰-1=1，得x∈∅．
④当x=0时，f（x）=e⁰-1=0，
由f[f（x）]=e⁰-1=1，得x∈∅．
∴M={e^e，e^-e，e

1

e

，e-

1

e

，-ln（e+1），-ln（

1

e

+1）}．
故选C．

点评：本题考查的知识点是集合中元素的个数及分段函数的函数值，其中根据分段函数的解析式，利用分类讨论的思想构造关于x的方程是解答本题的关键．