Question

用定义法证明函数f(x)=x+

9

x

在区间[3，+∞）上为增函数．

Answer 1

分析：利用函数单调性的定义，取值，作差，变形，定号，下结论，即可证得．

解答：证明：设x₁＜x₂，且x₁、x₂∈[3，+∞），则
f（x₁）-f（x₂）=（x1+

9

x1

）-（x2+

9

x2

）=

(x1-x2)(x1x2-9)

x1x2

∵x₁＜x₂，且x₁、x₂∈[3，+∞），∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞9
∴

(x1-x2)(x1x2-9)

x1x2

＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f(x)=x+

9

x

在区间[3，+∞）上为增函数．

点评：本题考查函数单调性的定义，考查单调性的证明，利用单调性的证明步骤是解题的关键．