Question

用定义法证明函数f(x)=

x2+1

-x在定义域内是减函数．

Answer 1

分析：直接利用函数单调性的定义进行证明，设在R上任取两个数x₁，x₂，且x₁＞x₂，然后判定f（x₁）-f（x₂）的符号，从而得到结论．

解答：解：设在R上任取两个数x₁，x₂，且x₁＞x₂；
则f（x₁）-f（x₂）=

x 2 1 +1

-x₁-（

x 2 2 +1

-x₂）
=

x 2 1 +1

-

x 2 2 +1

+（x₂-x₁）
=

(x1-x2)(x1+x2)

x 2 1 +1 + x 2 2 +1

+（x₂-x₁）
=（x₁-x₂）（

x1+x2

x 2 1 +1 + x 2 2 +1

-1）
∵x₁＞x₂；
∴x₁-x₂＞0，

x1+x2

x 2 1 +1 + x 2 2 +1

-1＜0
则f（x₁）-f（x₂）＜0
∴函数f(x)=

x2+1

-x在定义域内是减函数．

点评：本题主要考查了函数单调性的证明，解题的关键是化简判定符号，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．