Question

已知f(x)是偶函数，x ?R，若将f(x)的图象向右平移一个单位又得到一个奇函数，又f(2)＝-1，则f(1)+ f(2)+ f(3)+…+ f(2011)＝                  

1. A.
   -1003　
2. B.
   1003　　
3. C.
   1　　
4. D.
   -1

Answer 1

D
解：∵将f（x）的图象向右平移一个单位得到一个奇函数，
即f（x-1）是奇函数，∴f（-x-1）=-f（x-1），
又f（x）是偶函数，∴f（-x-1）=f（x+1），
∴f（x+1））=-f（x-1），
∴f（（x-1）+4）=-f（（x-1）+2）=f（x-1），可得f（x+4）=f（x），
∴函数f（x）的周期为4，
∵平移前f（x）是偶函数，f（x-1）是奇函数，x∈R，∴f（-1）=f（1）=f（3）=0，
f（0）=-f（-2）=-f（2）=1，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2006）=501（f（1）+f（2）+f（3）+f（4））+f（1）+f（2）=-1，
故选D．