Question

19．设函数f（x）=x³-3（a+1）x+b．（a≠0）
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切，求a，b的值；
（Ⅱ）求函数g（x）=f（x）+3x的单调区间与极值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函数的导数，通过解方程组求出a，b的值；
（Ⅱ）讨论a＞0，a＜0，分别令g′（x）＞0，g′（x）＜0，解不等式，求出单调区间，从而求出函数的极值．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=3x²-3（a+1），
∵曲线y=f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切，
∴f′（2）=0且f（2）=8，即12-3（a+1）=0，且8-6（a+1）+b=8，
解得a=3，b=24；
（Ⅱ）∵g（x）=f（x）+3x=x³-3ax+b，
g′（x）=3（x²-a）（a≠0），
当a＜0时，g′（x）＞0，函数g（x）在（-∞，+∞）上单调递增，
此时函数g（x）没有极值点；
当a＞0时，由g′（x）=0，解得x=±$\sqrt{a}$，
当x＞$\sqrt{a}$或x＜-$\sqrt{a}$时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，
当-$\sqrt{a}$＜x＜$\sqrt{a}$时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，
∴此时x=-$\sqrt{a}$是g（x）的极大值点，且极大值为b+2a$\sqrt{a}$；
x=$\sqrt{a}$是g（x）的极小值点，且极小值为b-2a$\sqrt{a}$．

点评 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．