Question

已知ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体，①(

A1A

+

A1D1

+

A1B1

)2=3(

A1B1

)2；②

A1C

•(

A1B1

-

A1A

)=0；③向量

AD1

与向量

A1B

的夹角是60°；④正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积为|

AB

•

AA1

•

AD

|．其中正确的命题是

①②

（写出所有正确命题编号）

Answer 1

分析：本题考查的是用向量的知识和方法研究正方体中的线线位置关系及夹角与体积．用到向量的加法、减法、夹角及向量的数量积，研究了正方体中的线线平行、垂直，异面直线的夹角及正方体的对角线的计算、体积的计算．

解答：解：①由向量的加法得到：

A1A

+

A1D1

+

A1B1

=

A1C

，∵A1C2=3A1B12，∴(

A1C

)2=3(

A1B1)

2，所以①正确；
②∵

A1B1

-

A1A

=

AB1

，AB₁⊥A₁C，∴

A1C

•

AB1

=0，故②正确；
③∵△ACD₁是等边三角形，∴∠AD1C=60°，又A₁B∥D₁C，∴异面直线AD₁与A₁B所成的夹角为60°，但是向量

AD1

与向量

A1B

的夹角是120°，
故③不正确；
④∵AB⊥AA₁，∴

AB

•

AA1

=0，故|

AB

•

AA1

•

AD

|=0，因此④不正确．
故答案为①②．

点评：本题把正方体中的线线位置关系及夹角与向量的有关知识结合起来进行考查．熟练掌握正方体中的线线位置关系及夹角与向量的有关知识方法是做好本题的关键．