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    已知ABCD-A1B1C1D1为正方体，①(
    A1A
    +
    A1D1
    +
    A1B1
    )2=3(
    A1B1
    )2    ；②
    A1C
    •(
    A1B1
    -
    A1A
    )=0    ；③向量
    AD1
    与向量
    A1B
    的夹角是60°；④正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|
    AB
    •
    AA1
    •
    AD
    |    ．其中正确的命题是
    ①②
    ①②
    （写出所有正确命题编号）
    分析：本题考查的是用向量的知识和方法研究正方体中的线线位置关系及夹角与体积．用到向量的加法、减法、夹角及向量的数量积，研究了正方体中的线线平行、垂直，异面直线的夹角及正方体的对角线的计算、体积的计算．
    解答：解：①由向量的加法得到：
    A1A
    +
    A1D1
    +
    A1B1
    =
    A1C
    ，∵A1C2=3A1B12，∴(
    A1C
    )2=3(
    A1B1)
    2    ，所以①正确；
    ②∵
    A1B1
    -
    A1A
    =
    AB1
    ，AB1⊥A1C，∴
    A1C
    •
    AB1
    =0    ，故②正确；
    ③∵△ACD1是等边三角形，∴∠AD1C=60°，又A1B∥D1C，∴异面直线AD1与A1B所成的夹角为60°，但是向量
    AD1
    与向量
    A1B
    的夹角是120°，
    故③不正确；
    ④∵AB⊥AA1，∴
    AB
    •
    AA1
    =0    ，故|
    AB
    •
    AA1
    •
    AD
    |    =0，因此④不正确．
    故答案为①②．
    点评：本题把正方体中的线线位置关系及夹角与向量的有关知识结合起来进行考查．熟练掌握正方体中的线线位置关系及夹角与向量的有关知识方法是做好本题的关键．
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    （1）用平面A1BC1截去一角后，求剩余部分的体积；
    （2）求A1B和B1C所成的角．

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    如图所示，已知在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长AB=2，侧棱BB1的长为4，E为C1C上的点，且CE=1，
    （1）求证：A1C⊥平面BDE；
    （2）求A1B与平面BDE所成的角的正弦值．

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    如图：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，点F为A1D的中点．
    （1）求证：A1B⊥平面AB1D；
    （2）求证：平面A1B1CD⊥平面AFC．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长AB=2，侧棱BB1的长为4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F．
    （Ⅰ）求证：A1C⊥平面BED；
    （Ⅱ）求A1B与平面BDE所成的角的正弦值．

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