Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，
（1）用平面A₁BC₁截去一角后，求剩余部分的体积；
（2）求A₁B和B₁C所成的角．

Answer 1

分析：（1）先求出截下部分体积，剩余部分体积=正方体的体积-截下部分体积，从而得出结果．
（2）连接D₁C和D₁B₁，将A₁B平移到D₁C，再利用中位线进行平移，使两条异面直线移到同一点，得到A₁B与B₁C所成的角，再在等边三角形△D₁CB₁求之即可．

解答：解：（1）∵BB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，
∴△A₁B₁C₁是棱锥B-A₁B₁C₁的底，
BB₁是棱锥的高，△A₁B₁C₁的面积=

1

2

a2，
截下部分体积=

1

3

BB1×△A1B1C1的面积=

1

3

a•

1

2

a2=

a3

6

，正方体体积=a³，
剩余部分体积=a³-

1

6

a3=

5

6

a3．
（2）连接D₁C和D₁B₁，
∴四边形A₁BCD₁是平行四边形，
∴A₁B∥D₁C，∴∠B₁CD₁即A₁B与B₁C所成的角，
∵正方体各面上对角线的长度相等，即D₁B₁=B₁C=D₁C，
∴△D₁CB₁是等边三角形
∴∠D₁CB₁=60°，
∴A₁B与B₁C成60⁰的角．

点评：本题主要考查了异面直线及其所成的角，平移法是研究异面直线所成的角的最常用的方法，属于基础题．