Question

如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点P在平面DD₁C₁C内，PD₁=PC₁=

2

．求证：
（1）平面PD₁A₁⊥平面D₁A₁BC；
（2）PC₁∥平面A₁BD．

Answer 1

分析：（1）证明A₁D₁⊥PD₁，PD₁⊥D₁C，可得PD₁⊥平面D₁A₁BC，利用面面垂直的判定定理，可得结论；
（2）证明PC₁∥A₁B，利用线面平行的判定定理，可得结论．

解答：证明：（1）∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，∴A₁D₁⊥平面DCC₁D₁，
又点P在平面DD₁C₁C内，∴A₁D₁⊥PD₁．
∵PD1=PC1=

2

，且正方体的棱长为2，∴PD₁⊥D₁C，
又D₁C∩A₁D₁=D₁，…（2分）
∴PD₁⊥平面D₁A₁BC，
又PD₁?平面PD₁A₁，
∴平面PD₁A₁⊥平面D₁A₁BC．        …（4分）
（2）由（1）得，PC₁∥D₁C，又D₁C∥A₁B，∴PC₁∥A₁B．                  …（6分）
又PC₁?平面A₁BD，A₁B?平面A₁BD，∴PC₁∥平面A₁BD．                  …（8分）

点评：本题考查面面垂直、线面平行的判定定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．