Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，O是底ABCD对角线的交点．
（1）求证：C₁O∥面AB₁D₁；
（2）求异面直线AD₁与 C₁O所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）连接A₁C₁，设A₁C₁∩B₁D₁=O₁，连接AO₁，利用正方体的性质可证明：AOC₁O₁是平行四边形．
得到C₁O∥AO₁，再利用线面平行的判定定理即可得出C₁O∥平面AB₁D₁．．
（2）连接BC₁，C₁D，可得ABC₁D₁是平行四边形．由于AD₁∥BC₁，可得∠BC₁O为AC₁与B₁C所成的角．利用正方体的性质可得BC₁=C₁D=BD．即可得出．

解答：证明：（1）连接A₁C₁，设A₁C₁∩B₁D₁=O₁，连接AO₁，
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，
∴A₁A

∥

.

CC₁，
∴A₁ACC₁是平行四边形，
∴A₁C₁∥AC且 A₁C₁=AC．
又O₁，O分别是A₁C₁，AC的中点，
∴O₁C₁∥AO且O₁C₁=AO，
∴AOC₁O₁是平行四边形．
∴C₁O∥AO₁，AO₁?面AB₁D₁，C₁O?面AB₁D₁，
∴C₁O∥平面AB₁D₁．
（2）连接BC₁，C₁D，
∴ABC₁D₁是平行四边形．
∵AD₁∥BC₁，
∴∠BC₁O为AC₁与B₁C所成的角．
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，
∴BC₁=C₁D=BD．
又O是BD的中点，
∴∠BC₁O=30°
∴异面直线AD₁与 C₁O所成角为30°．

点评：本题考查了正方体的性质、平行四边形的判定定理及其性质定理、等边三角形的性质、线面判定定理、异面直线所成的角等基础知识与基本技能方法，属于中档题．