Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的动点．
（1）当E恰为棱CC₁的中点时，试证明：平面A₁BD⊥平面EBD；
（2）在棱CC₁上是否存在一个点E，可以使二面角A₁-BD-E的大小为45°？如果存在，试确定点E在棱CC₁上的位置；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）连接AC，BD，设AC∩BD=O，连接A₁O，OE，在等边△A₁BD中，BD⊥A₁O，由BD⊥A₁E，A₁O?平面A₁OE，A₁O∩A₁E=A₁，知∠A₁OE是二面角A₁-BD-E的平面角，由此能够证明平面A₁BD⊥平面EBD．
（2）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，假设棱CC₁上存在点E，可以使二面角A₁-BD-E的大小为45°，由∠A₁OE=45°设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2a，EC=x，由平面几何知识，得EO=

2a2+x2

，A1O=

6

a，A1E=

8a2+(2a-x)2

，由此能推导出棱OC₁上不存在满足条件的点．

解答：（1）证明：连接AC，BD，设AC∩BD=O，连接A₁O，OE，
在等边△A₁BD中，BD⊥A₁O，
∵BD⊥A₁E，A₁O?平面A₁OE，A₁O∩A₁E=A₁，
∴BD⊥平面A₁OE，
于是BD⊥OE，
∴∠A₁OE是二面角A₁-BD-E的平面角，
在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，设棱长为2a，
∵E是棱CC₁的中点，
∴由平面几何知识，得EO=

3

a，A1O=

6

a，A₁E=3a，
满足A1E2=A1O2+EO2，
∴∠A₁OE=90°，即平面A₁BD⊥平面EBD．
（2）解：在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
假设棱CC₁上存在点E，可以使二面角A₁-BD-E的大小为45°，
由（1）知，∠A₁OE=45°，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2a，EC=x，
由平面几何知识，得EO=

2a2+x2

，A1O=

6

a，A1E=

8a2+(2a-x)2

，
∴在△A₁OE中，由A1E2=A1O2+EO2-2A1O•EO•cos∠A1OE，
得x²-8ax-2a²=0，
解得x=4a±3

2

a，
∵4a+3

2

a＞2a，4a-3

2

a＜0，
∴棱OC₁上不存在满足条件的点．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查棱CC₁上是否存在一个点E，可以使二面角A₁-BD-E的大小为45°．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．