Question

（2010•江西模拟）设椭圆

x2

4

+

y2

3

=1长轴的两端点为A₁，A₂，点P在直线l：x=4上，直线A₁P，A₂P分别与该椭圆交于M，N，若直线MN恰好过右焦点F，则称P为“G点”，那么下列结论中，正确的是（　　）

A．直线l上的所有点都是“G点”

B．直线l上仅有有限个“G点”

C．直线l上的所有点都不是“G点”

D．直线l上有无穷多个点（不是所有的点）是“G点”

Answer 1

分析：设P（4，b）．求出直线A₁P，A₂P的方程．与椭圆方程联立，解出M，N的坐标   若MF1，MF2的斜率相等，则直线上的所有点都是G点．

解答：解：A₁（-2，0），A₂ （2，0）设P（4，b），
由直线的点斜式方程得到直线A₁P：y=

b

6

（x+2）与椭圆方程联立，
消去y得：(3+

b2

9

)x2+

4b2

9

x+

4b2

9

-12=0，
由韦达定理，x₁+x₂=-

4b2

27+b2

 又-2是此方程的一个解，
得M的横坐标是

54-2b2

27+b2

，
代入直线A₁P从而纵坐标

18b

27+b2

．同理N（

2b2-6

3+b2

，

-6b

3+b2

）．
根据两点直线斜率公式，k_MF1=K_MF2．
∴M，F1，F2，三点始终共线直线MN始终过右焦点F．
故选A．

点评：本题首先明确G点的新定义．在题目中使得直线MN恰好过右焦点，使问题转化成三点是否共线的问题．