Question

13．如图，圆O的直径AB=8，圆周上过点C的切线与BA的延长线交于点E，过点B作AC的平行线交EC的延长线于点P．
（1）求证：BC²=AC•BP；
（2）若EC=2$\sqrt{5}$，求EA的长．

Answer 1

分析 （1）证明：△ACB∽△CBP，即可证明BC ²=AC•BP．
（2）由题意可得EC²=EA•EB=EA（EA+AB），即可解得EA的值．

解答 解：（1）证明：∵AB为圆O的直径，∴∠ACB=90°．
又AC∥BP，
∴∠ACB=∠CBP，∠ECA=∠P．
∵EC为圆O的切线，∴∠ECA=∠ABC，∴∠ABC=∠P，
∴△ACB∽△CBP．
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{BC}{BP}$，即BC ²=AC•BP．…（4分）
（2）解：∵EC为圆O的切线，EC=2$\sqrt{5}$，AB=8，…（5分）
∴EC²=EA•EB=EA（EA+AB），
∴20=EA（EA+8），
∴EA=2．                      …（6分）

点评 本题考查三角形相似的判定性质的运用，考查切割线定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．