Question

1．如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，E、F分别为AB、PC的中点．
（1）若PA=1，求证：EF⊥平面PCD；
（2）若PA=2，试问在线段EF上是否存在点Q，使得二面角Q-AP-D的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$？若存在，确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）取PD中点M，连接MF、MA，先证明EF∥AM，然后证明AM⊥平面PCD，利用直线平行的性质即可证明EF⊥平面PCD，
（2）以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，则平面PAD的法向量与平面PAQ的法向量的夹角的余弦值即为$\frac{\sqrt{5}}{5}$，建立方程进行计算求解即可．

解答 证明：（1）取PD中点M，连接MF、MA，
在△PCD中，F为PC的中点，∴MF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}DC$，
正方形ABCD中E为AB中点，∴AE$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}DC$，∴AE$\underset{∥}{=}$MF，
故四边形EFMA为平行四边形，∴EF∥AM，
若PA=1，则PA=AD=1，
即三角形PAD是等腰直角三角形，
∵M是中点，∴AM⊥MD，
∵CD⊥平面PAD，∴CD⊥AM，
∵CD∩MD=D，
∴AM⊥平面PCD，
∵EF∥AM，
∴EF⊥平面PCD；
（2）结论：满足条件的Q存在，是EF中点．
理由如下：
如图：以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，
则P（0，0，2），B（0，1，0），C（1，1，0），E（0，$\frac{1}{2}$，0），F（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，1），
由题易知平面PAD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
假设存在Q满足条件：设$\overrightarrow{EQ}$=λ$\overrightarrow{EF}$，
∵$\overrightarrow{EF}$=（$\frac{1}{2}$，0，1），∴Q（$\frac{λ}{2}$，$\frac{1}{2}$，λ），$\overrightarrow{AQ}$=（$\frac{λ}{2}$，$\frac{1}{2}$，λ），λ∈[0，1]，
设平面PAQ的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{λ}{2}x+\frac{1}{2}y+λz=0}\\{z=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{m}$=（1，-λ，0），
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-λ}{\sqrt{1+{λ}^{2}}}$，
由已知：$\frac{-λ}{\sqrt{1+{λ}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，解得：$λ=\frac{1}{2}$，
所以满足条件的Q存在，是EF中点．

点评 本题主要考查空间线面平行的判断以及二面角的求解，建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决本题的关键．综合考查学生的运算和推理能力．