Question

已知在多面体ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥BD，且AB=BC=CA=BD=2AE，F为CD的中点．
（1）求证：EF⊥平面BCD；
（2）求二面角D-EC-B的正切值．

Answer 1

分析：（1）连接BF，由EF²+BF²=BE²得到BF⊥EF，又EF⊥CD，则线面垂直的判断定理证明．
（2）由（Ⅰ）可知BF⊥CD，BF⊥EF，所以BF⊥面CDE，又过F作FG⊥CE，交CE于点G，连接BG，得知∠BGF为二面角D-EC-B的平面角，然后在Rt△BGF中求解．

解答：解：（Ⅰ）连接BF，不妨设AE=1，则AB=BC=AC=BD=2，
于是CE=ED=

5

，CD=2

2

，
所以EF=

3

，BF=

2

，BE=

5

（3分）
所以BF⊥EF，又EF⊥CD，又BF，CD为两条相交直线
故EF⊥平面BCD（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知BF⊥CD，BF⊥EF，所以BF⊥面CDE
又过F作FG⊥CE，交CE于点G，连接BG
因此∠BGF为二面角D-EC-B的平面角（9分）
tan∠BGF=

BF

FG

，
而FG=

EF•CF

CE

=

3 × 2

5

=

30

5

所以tan∠BGF=

2

30 5

=

15

3

（12分）

点评：本题主要考查线线垂直与线面垂直的相互转化，同时考查二面角的求法，基本思路是先找或作出二面角的平面角，再求解．