Question

已知（3x-1）⁷=a₇x⁷+a₆x⁶+…+a₁x+a₀
求 （1）a₁+a₂+…+a₇；
（2）a₁+a₃+a₅+a₇；
（3）a₀+a₂+a₄+a₆；
（4）|a₀|+|a₁|+|a₂|+…+|a₇|．（要求算出最终结果）

Answer 1

分析：（1）根据所给的二项式，给x赋值，使得x=1，代入x=1以后，写出各项系数之和，减去常数项，得到要求的结果．
（2）根据上一问写出的一个赋值后的式子，再给x赋值-1，写出式子，把两个式子相减，得到要求的结果的2倍，除以2得到结果．
（3）根据上面两个赋值的式子，两个式子相加，除以2以后得到结果．
（4）根据上面做出的（2）（3）两个结果，求各个项的绝对值之和，把上面得到的两个式子的知相加即可．

解答：解：（1）取x=1代入上面的等式则有
a₇x₇+a₆x₆+…+a₁x+a₀
=a₀+a₁+a₂+…+a₇
=（3-1）⁷
=2^{7 ①}
=128
∴a₁+a₂+…+a₇=128-a₀=127
（2）令x=-1，
∴a₀-a₁+a₂-a₃+…-a₇=4⁷    ②
②-①2（a₁+a₃+a₅+a₇）=128-16384=-16256
∴a₁+a₃+a₅+a₇=-8128
（3）①+②得2（a₀+a₂+a₄+a₆）=128+16256=16384
∴a₀+a₂+a₄+a₆=8192
（4）由（2）和（3）可以知道）|a₀|+|a₁|+|a₂|+…+|a₇|=-（a₁+a₃+a₅+a₇）+a₀+a₂+a₄+a₆=16320

点评：本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是给变量赋值，从赋值以后的结果上，变化出要求的各个系数之和．