Question

如图，在棱锥P-ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，底面ABCD是菱形，且∠ADC=60°，E为PA的中点，二面角P-CD-A为120°．
（1）求证：PA⊥平面CDE；
（2）求二面角P-AB-D的大小．

Answer 1

分析：（1）取CD中点G，连接PG，AG．利用等腰三角形的性质和线面垂直的判定定理可证明CD⊥平面PAG，可得CD⊥PA；再证明DE⊥PA即可．
（2））利用CD⊥平面PAG，可得∠PGA是二面角P-CD-A的平面角，即∠PGA=120°．再利用菱形的性质和三垂线定理及其逆定理可证∠PAG是二面角P-AB-D的平面角，求出即可．

解答：证明：（1）取CD中点G，连接PG，AG．
∵侧面PDC是边长为2的正三角形，∴PG⊥CD，
∵底面ABCD是菱形，∠ADC=60°，
∴△DAC也是边长为2的正三角形，∴GA⊥CD，
∴CD⊥平面PAG，∴PA⊥CD，
在△PDA中，PD=AD，E为PA的中点，∴PA⊥DE．
又CD∩DE=D，∴PA⊥平面CDE．
（2）∵CD⊥平面PAG，∴∠PGA是二面角P-CD-A的平面角，∴∠PGA=120°．
又∵底面ABCD是菱形，
∴AB∥CD，∴AB⊥平面PAG，
平面PAG∩平面ABD=AG，平面PAG∩平面PAB=AP．
∴∠PAG是二面角P-AB-D的平面角，
∵PD=AD，∴Rt△PDG≌Rt△AGD，PG=AG，∠PAG=30°，
∴二面角P-AB-D为30°．

点评：本题考查了等腰三角形的性质和线面垂直的判定定理、菱形的性质和三垂线定理及其逆定理、二面角的作法和求值等基础知识与基本技能方法，属于难题．