Question

如图，在棱锥P-ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是菱形，且∠ADC=60°，M为PB的中点，
（1）求证：PA⊥CD；
（2）求二面角P-AB-D的大小；
（3）求证：平面CDM⊥平面PAB．

Answer 1

【答案】分析：（1）取CD中点O，连OA、OP，根据面PCD⊥面ABCD，PO⊥CD，得PO⊥面ABCD，即AO为PA在面ABCD上的射影，利用AO⊥CD，证明PA⊥CD．
（2）先求二面角P-AB-D的平面角，由（1）可证明AB⊥平面PAO，从而可知∠PAO是二面角P-AB-D的平面角，在Rt△PAO中可求∠PAO；
（3）取PA中点N，连接MN，要证明平面CDM⊥平面PAB，只需证明PA⊥平面CDM，从而可转化为证明PA⊥DN，PA⊥CD．
解答：（1）证明，取CD中点O，连OA、OP，
∵面PCD⊥面ABCD，PO⊥CD，
∴PO⊥面ABCD，即AO为PA在面ABCD上的射影，
又在菱形ABCD中，∠ADC=60°，O为CD中点，DO=DA，
∴AO⊥CD，由三垂线定理得，PA⊥CD．
（2）∵PA⊥CD，OA⊥CD，PA∩0A=A，∴CD⊥平面PAO，
∵AB∥CD，∴AB⊥平面PAO，∴∠PAO是二面角P-AB-D的平面角．
∵PD=AD，∴Rt△POD≌Rt△AOD，∴PO=AO，∠AOP=45°，
所以二面角P-AB-D为45°．
（3）取PA中点N，连接MN，则MN∥AB，
又AB∥CD，∴MN∥CD，
又∵N∈平面CDM，DN?平面CDM，PD=AD，∴PA⊥DN，
又∵PA⊥CD，CD∩DN=D，∴PA⊥平面CDM，
又PA?平面PAB，∴平面CDM⊥平面PAB．
点评：本题考查异面垂直、面面垂直的判定及二面角的求解，考查学生推理论证能力，考查转化思想的运用，二面角的求解一般转化为求其平面角，或用空间向量求解．