Question

已知函数f（x）cosx（cosx-

3

sinx）（x∈R）
（Ⅰ）写出f（x）的单调减区间；
（Ⅱ）在△ABC中，A、B、C所对的边分别是a、b、c，若f（A）=0，A∈（0，

π

2

），且（1+

3

）c=2b．求角C．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,余弦定理

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（Ⅰ）通过二倍角公式和两角和公式对函数解析式进行化简，然后利用余弦定理的图象和性质求得其单调减区间．
（Ⅱ）利用f（A）=0求得cos（2A+

π

3

）的值，进而求得A，然后通过正弦定理把（1+

3

）c=2b转化成角的正弦的关系式，化简整理求得tanC的值，进而求得C．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=cosx（cosx-

3

sinx）=cos²x-

3

sinxcosx=

1

2

cos2x+

1

2

-

3

2

sin2x=cos（2x+

π

3

）+

1

2

∴当2kπ≤2x+

π

3

≤2kπ+π，k∈Z时，即kπ-

π

6

x≤kπ+

π

3

时，函数单调减，
∴函数f（x）的单调递减区间为：[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=cos（2x+

π

3

）+

1

2

∴f（A）=cos（2A+

π

3

）+

1

2

=0
∴cos（2A+

π

3

）=-

1

2

，
∵A∈（0，

π

2

），
∴

π

3

＜2A+

π

3

＜

4π

3

，
∴2A+

π

3

=

2π

3

，
∴A=

π

6

．
∵（1+

3

）c=2b．
∴（1+

3

）sinC=2sinB，
∴（1+

3

）sinC=2sin（π-

π

6

-C）=2sin（

5π

6

-C）=2（sin

5π

6

cosC-cos

5π

6

sinC）=cosC+

3

sinC，
∴cosC=sinC，即tanC=1，
∴C=

π

4

点评：本题主要考查三角函数恒等变换的应用，正弦定理的应用．注重对基础知识和数学运算能力的考查．