Question

若是函数在点附近的某个局部范围内的最大（小）值，则称是函数的一个极值，为极值点．已知，函数．

（Ⅰ）若，求函数的极值点；

（Ⅱ）若不等式恒成立，求的取值范围．

（为自然对数的底数）

 

Answer 1

【答案】

（1）的极小值点为1和，极大值点为．

（2）

【解析】

试题分析：解：（Ⅰ）若，则，．

当时，，单调递增；

当时，，单调递减．                   …2分

又因为，，所以

当时，；当时，；

当时，；当时，．           …4分

故的极小值点为1和，极大值点为．                …6分

（Ⅱ）不等式，

整理为．…（*）

设，

则（）

．                       …8分

①当时，

，又，所以，

当时，，递增；

当时，，递减．

从而．

故，恒成立．                                           …11分

②当时，

．

令，解得，则当时，；

再令，解得，则当时，．

取，则当时，．

所以，当时，，即．

这与“恒成立”矛盾．

综上所述，．                                              …14分

考点：导数的运用

点评：解决的关键是对于导数在研究函数中的运用，求解极值和最值，以及不等式的恒成立问题，属于基础题。