Question

17．已知函数f（x）=$\frac{ax}{{x}^{2}+b}$（a，b∈R）在x=1处取得极值为2．
（1）求函数的解析式；
（2）求f（x）的单调区间和极值；
（3）求函数在区间[-3，6]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）先求出函数f（x）的导数，得到方程组，求出a，b的值，从而求出函数的解析式；
（2）先求出函数的单调区间，从而求出函数的极值；
（3）先求出函数f（x）在[-3，6]上的单调性，从而求出函数的最小值．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{{-a{x^2}+ab}}{{{{（{x^2}+b）}^2}}}$，
根据题意得$\left\{\begin{array}{l}{f^'}（1）=0\\ f（1）=2\end{array}\right.$，解得a=4，b=1，
所以$f（x）=\frac{4x}{{{x^2}+1}}$；
（2）由（1）得：f（x）=$\frac{4x}{{x}^{2}+1}$，∴f′（x）=$\frac{-{4x}^{2}+4}{{{（x}^{2}+1）}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：-1＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＜-1或x＞1，
∴函数f（x）的增区间（-1，1），减区间（-∞，-1），（1，+∞），
∴f（x）_极小值=f（-1）=$\frac{-4}{1+1}$=-2，f（x）_极大值=f（1）=$\frac{4}{1+1}$=2；
（3）由（2）知，f（x）在（-3，-1），（1，6）上递减，在（-1，1）上递增，
∴f（x）的极小值是f（-1），
又 f（6）=$\frac{24}{37}$，f（-1）=-2，
∴f（x）的最小值是-2．

点评 本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．