Question

（08年绵阳市诊断三理）（12分）为坐标原点，和两点分别在射线≥上移动，且，动点满足，记点的轨迹为。

（1）求的值；

（2）求点的轨迹的方程，并说明它表示怎样的曲线？

（3）设点，若直线 与曲线交于、两点，且、两点都在以为圆心的圆上，求的取值范围。

Answer 1

解析：（1）分别在射线上，

，即，

，

又，

。

，

。……2分

（2）设P(x,y)，

由可得

即

，

两式相减有：，即。……6分

，且y_A、y_B不同时为0，

。

∴轨迹C的方程为，它表示双曲线的上支。……5分

（3）

消去x，整理得：。……6分

∵直线y=kx+m与曲线C交于M，N两点，设M(x₁,y₁)，N(x₂,y₂)，

，

即……8分

由①整理得：m²+3k²-1>0，  ④

由③有：3k²-1<0           ⑤

∴由②有m>0。

又、N在以点G为圆心的圆上，

设MN的中点为Q，则，即

，

。

，

。

又，

。

整理得4mk=3k²-1，⑥……10分

把⑥代入④中有：m²+4mk>0，

由m>0，所以m+4k>0，

又由⑥有，代入上式得，

，

中。

于是19k²-1<0。

解得。

再由3k²-1<0，得。

综合得k的取值范围为。……12分