Question

设函数f(x)=(2-a)lnx+

1

x

+2ax．
（1）当a=0时，求f（x）的极值；
（2）设g(x)=f(x)-

1

x

，在[1，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
（3）当a≠0时，求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），当a=0时，f（x）=2lnx+

1

x

，可求得f′（x）=

2x-1

x2

，将f（x），f'（x）随x变化情况列表即可求得f（x）的极值；
（2）由题意，g（x）=（2-a）lnx+2ax，在[1，+∞）上单调递增?g′（x）=

2-a

x

+2a≥0在[1，+∞）上恒成立，设h（x）=2ax+2-a≥0在[1，+∞）上恒成立，对a分a=0，a＞0，a＜0讨论即可求得答案；
（3）由题意得，f′（x）=

2ax2+(2-a)x-1

x2

，令f'（x）=0得x₁=-

1

a

，x₂=

1

2

，对a分a＞0，a＜0（对a再分a＜-2，a=-2，-2＜a＜0）讨论即可求得答案．

解答：解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．…（1分）
当a=0时，f（x）=2lnx+

1

x

，
∴f′（x）=

2

x

-

1

x2

=

2x-1

x2

，…（2分）
由f'（x）=0得x=

1

2

，
于是，f（x），f'（x）随x变化如下表：

x	（0， 1 2 ）	1 2	（ 1 2 ，+∞）
f（x）	-	0	+
f'（x）	减函数	极小值	增函数

故，f（x）_极小值=f（

1

2

）=2-ln2，没有极大值．…（4分）
（2）由题意，g（x）=（2-a）lnx+2ax，在[1，+∞）上单调递增，
∴g′（x）=

2-a

x

+2a≥0在[1，+∞）上恒成立，
设h（x）=2ax+2-a≥0在[1，+∞）上恒成立，…（5分）
当a=0时，2≥0恒成立，符合题意．…（6分）
当a＞0时，h（x）在[1，+∞）上单调递增，h（x）的最小值为h（1）=2a+2-a≥0，得a≥-2，所以a＞0…（7分）
当a＜0时，h（x）在[1，+∞）上单调递减，不合题意
所以a≥0…（9分）
（3）由题意得，f′（x）=

2ax2+(2-a)x-1

x2

，
令f'（x）=0得x₁=-

1

a

，x₂=

1

2

，…（10分）
若a＞0，由f'（x）≤0得x∈（0，

1

2

]；由f'（x）≥0得x∈[

1

2

，+∞）；…（11分）
若a＜0，①当a＜-2时，0＜-

1

a

＜

1

2

，x∈（0，-

1

a

]或x∈[

1

2

，+∞），f'（x）≤0；x∈[-

1

a

，

1

2

]，f'（x）≥0，
②当a=-2时，f'（x）≤0；
③当-2＜a＜0时，-

1

a

＞

1

2

，x∈（0，

1

2

]或x∈[-

1

a

，+∞），f'（x）≤0；x∈[

1

2

，-

1

a

]，f'（x）≥0．
综上，当a＞0时，函数的单调递减区间为（0，

1

2

]，单调递增区间为[

1

2

，+∞）；
当a＜-2时，函数的单调递减区间为（0，-

1

a

]，[

1

2

，+∞），单调递增区间为[-

1

a

，

1

2

]；
当a=-2时，函数的单调递减区间为（0，+∞）；
当-2＜a＜0时，函数的单调递减区间为（0，

1

2

]，[-

1

a

，+∞），单调递增区间为[

1

2

，-

1

a

]．…（14分）

点评：本题考查利用导数研究函数的极值，考查利用导数研究函数的单调性，突出考查转化与分类讨论的数学思想，考查综合分析与运算能力，属于难题．