Question

如图，F₁，F₂是离心率为的椭圆C：(a＞b＞0)的左、右焦点，直线：x＝－将线段F₁F₂分成两段，其长度之比为1 : 3．设A，B是C上的两个动点，线段AB的中垂线与C交于P，Q两点，线段AB的中点M在直线l上．

(Ⅰ) 求椭圆C的方程；

(Ⅱ) 求的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据题中的已知条件列有关的方程，求出，然后根据离心率求出，最后再根据、、三者之间的关系求出的值，从而确定椭圆的方程；（Ⅱ）先设点的坐标，然后根据已知条件将直线的方程用进行表示，再联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理将表示为含为代数式，然后再利用不等式的性质求出的取值范围.

试题解析：（Ⅰ）设F₂(c，0)，则＝，所以c＝1．

因为离心率e＝，所以a＝．

所以椭圆C的方程为．

(Ⅱ) 当直线AB垂直于x轴时，直线AB方程为x＝－，此时P(，0)、Q(,0)，．

当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的斜率为k，M(－，m) (m≠0)，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．

由  得(x₁＋x₂)＋2(y₁＋y₂)＝0，

则－1＋4mk＝0，故k＝．

此时，直线PQ斜率为，PQ的直线方程为．即．

联立 消去y，整理得．

所以，．

于是(x₁－1)(x₂－1)＋y₁y₂

．

令t＝1＋32m²，1＜t＜29，则．

又1＜t＜29，所以．

综上，的取值范围为．

考点：椭圆的方程、平面向量的数量积、韦达定理