Question

4．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}=1（m＞n＞0）$与双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（α＞0，b＞0）有相同的焦点，点A是两曲线在第一象限的交点，F是它们的右焦点，且AF⊥x轴．若椭圆的离心率为$\frac{1}{2}$，则双曲线的离心率为（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{5}$
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． 4

Answer 1

分析 设F（c，0），由AF⊥x轴，把F分别代入椭圆与双曲线方程可得：化为${n}^{2}（1-\frac{{c}^{2}}{{m}^{2}}）$=$（\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-1）{b}^{2}$，又c²=m²-n²=a²+b²，可得：$\frac{{n}^{2}}{m}=\frac{{b}^{2}}{a}$．由$\sqrt{1-\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，可得$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}}$=$\frac{3}{4}$．联立解得a=$\frac{m}{4}$，b=$\frac{n}{2}$，b²=$\frac{3{m}^{2}}{16}$，即可得出双曲线的离心率=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$．

解答 解：设F（c，0），由AF⊥x轴，
把F分别代入椭圆与双曲线方程可得：
$\frac{{c}^{2}}{{m}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}=1$，$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
化为${n}^{2}（1-\frac{{c}^{2}}{{m}^{2}}）$=$（\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-1）{b}^{2}$，
又c²=m²-n²=a²+b²，
可得：$\frac{{n}^{2}}{m}=\frac{{b}^{2}}{a}$，
∵$\sqrt{1-\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}}$=$\frac{3}{4}$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{b}^{2}={m}^{2}-{n}^{2}}\\{{b}^{2}=\frac{a{n}^{2}}{m}}\\{4{n}^{2}=3{m}^{2}}\end{array}\right.$，
解得a=$\frac{m}{4}$，b=$\frac{n}{2}$，b²=$\frac{3{m}^{2}}{16}$，
∴双曲线的离心率=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+3}$=2．
故选：A．

点评 本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．