Question

已知函数f（x）=|ax-2|+blnx（x＞0，实数a，b为常数）．
（1）若a=1，f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，求b的取值范围；
（2）若a≥2，b=1，求方程在（0，1]上解的个数．

Answer 1

解：（1）
①当0＜x＜2时，f（x）=-x+2+blnx，f′（x）=-1+．
由条件，得≥0恒成立，即b≥x恒成立．
∴b≥2
②当x≥2时，f（x）=x-2+blnx，f'（x）=1+．
由条件，得≥0恒成立，即b≥-x恒成立
∴b≥-2
∵f（x）的图象在（0，+∞）不间断，
综合①，②得b的取值范围是b≥2．
（2）令，即
当时，，，
∵，∴，则
即g'（x）＞0，∴g（x）在上是单调增函数．
当时，，
∴g（x）在上是单调增函数．
∵g（x）的图象在（0，+∞）上不间断，
∴g（x）在（0，+∞）上是单调增函数．
∵，而a≥2，∴，则．g（1）=|a-2|-1=a-3
①当a≥3时，
∵g（1）≥0
，∴g（x）=0在（0，1]上有惟一解．
即方程解的个数为1个．
②当2≤a＜3时，
∵g（1）＜0，
∴g（x）=0在（0，1]上无解．
即方程解的个数为0个．
分析：（1）先去掉绝对值转化为分段函数，每一段用导数法研究，因为是增函数，则导数大于等于零恒成立，最后每一段的结果取交集．
（2）先构造g（x）=|ax-2|+lnx-，即g（x）=，每一段再用导数法研究．
点评：本题主要考查函数的单调性与最值，一般来讲，给出解析式的，解决的方法往往是基本函数法或导数法，抽象函数的单调性和最值，往往用单调性的定义解决．