Question

【题目】已知D是直角ABC斜边BC上一点，AC= DC，
（Ⅰ）若∠DAC=30°求角B的大小；
（Ⅱ）若BD=2DC，且 AD=2 ，求DC的长．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）在△ADC中，根据正弦定理，有

∵AC= DC，

∴sin∠ADC= sin∠DAC=

又∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+60°＞60°

∴∠ADC=120°

于是∠C=180°﹣120°﹣30°，

∴∠B=60°

（Ⅱ）∵BD=2DC，且 AD=2 ，

设DC=x，则BD=2x，BC= x，AC= x

于是sinB=

在△ABD中，由余弦定理得：AD2=AB2+BD2﹣2ABBD cos B，

即（2 ）2=6x2+4x2﹣2x x2x× 2，

解得：x=2

故DC=2．

【解析】（1）由正弦定理得出角的关系，经分析可得出角B的大小；（2）根据比例，设出相应线段的长度，再由正余弦定理解出x，得到DC=2.