Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAC⊥底面ABCD，BC=CD= AC=2，∠ACB=∠ACD= ．

（1）证明：AP⊥BD；
（2）若AP= ，AP与BC所成角的余弦值为 ，求二面角A﹣BP﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图，连接BD交AC于点O．

∵BC=CD，即△BCD为等腰三角形，又AC平分∠BCD，故AC⊥BD，

∵平面PAC⊥底面ABCD，平面PAC∩底面ABCD=AC，

∴BD⊥平面PAC，

∵AP平面PAC，∴AP⊥BD．…

（2）作PE⊥AC于点E，则PE⊥底面ABCD，PE⊥BD，

以O为坐标原点， 的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz．

，而AC=4，得AO=AC﹣OC=3，

又 ，故 ．

设P（0，y，z）（z＞0），则由 ，得（y+3）2+z2=5，

而 ，

由cos＜ ， ＞= ，得 ，则y=﹣1，z=1，…..

∴ ．

设平面ABP的法向量为 ，平面BCP的法向量为 ，

则 ，取 ，得 ，

，取 ，得 ，

从而法向量 的夹角的余弦值为cos＜ ＞= = ．

由图可知二面角A﹣BP﹣C是钝角，故二面角A﹣BP﹣C的余弦值为 …

【解析】1、由已知连接BD交AC于点O，根据，BC=CD，得到AC⊥BD，，利用面面垂直的性质定理可得BD⊥平面PAC，即可得证。
2、根据已知建立直角坐标系，求出平面ABP、平面ABP的法向量，利用夹角公式求出二面角A﹣BP﹣C的余弦值。