Question

已知圆C：（x-2）²+（y-4）²=4，直线l₁过原点O（0，0）．
（1）若l₁与圆C相切，求l₁的方程；
（2）若l₁与圆C相交于不同两点P、Q，线段PQ的中点为M，又l₁与l₂：x+2y+1=0的交点为N，求证：OM•ON为定值；
（3）求问题（2）中线段MN长的取值范围．

Answer 1

分析：（1）l₁的斜率不存在时，检验符合题意．当斜率存在时，设出斜截式方程，由圆心到直线的距离等于半径求出
斜率，可得直线方程．
（2）点斜式设出直线l₁的方程，把l₁与l₂的方程联立方程组求得交点N的坐标；把直线l₁的方程和CM的方程联立
方程组可得M的坐标，化简OM•ON的结果．
（3）设OM=x，则x∈(4，2

5

]，利用MN=x-

2

x

在(4，2

5

]上单调递增，可求MN范围．

解答：解：（1）分情况讨论可得，①若直线l₁的斜率不存在，即直线是x=0，符合题意．（2分）
②若直线l₁斜率存在，设直线l₁为y=kx，即kx-y=0．
由题意知，圆心（2，4）到已知直线l₁的距离等于半径2，
即：

|2k-4|

k2+1

=2解之得k=

3

4

． 所求直线方程是 x=0，或3x-4y=0．（5分）
（2）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx-y=0，
由

x+2y+1=0 kx-y=0

，得 N(-

1

2k+1

，-

k

2k+1

)，∴ON=

1 (2k+1)2 + k2 (2k+1)2

=

1+k2

|2k+1|

． 
又直线CM与l₁垂直，由

y=kx y-4=- 1 k (x-2)

，得  M(

4k+2

1+k2

，

4k2+2k

1+k2

)，
∴OM=

[2(2k+1)]2 (1+k2)2 + [2k(2k+1)]2 (1+k2)2

=

|2k+1|×2× 1+k2

1+k2

，
∴OM•ON=

1+k2

|

1

2k+1

|•

1+k2

|

4k+2

k2+1

|=2为定值．（11分）
（3）由OM•ON=2，设OM=x，则x∈(4，2

5

]，ON=

2

x

，
（当OM为圆的切线时，长度最短等于4；当M为圆心时，OM的长度最长等于2

5

），
再由MN=OM-ON=x-

2

x

在(4，2

5

]上单调递增，所以，MN∈(

7

2

，

9 5

5

]．（16分）

点评：本题考查点到直线的距离公式的应用，求两直线的交点的坐标的方法，以及利用函数的单调性求函数的最值，体现
了分类讨论的数学思想，属于难题．