Question

已知圆C：（x-2）²+y²=1，D是y轴上的动点，直线DA、DB分别切圆C于A、B两点．
（1）如果|AB|=

4 2

3

，求直线CD的方程；
（2）求动弦AB的中点的轨迹方程E；
（3）直线x-y+m=0（m为参数）与方程E交于P、Q两个不同的点，O为原点，设直线OP、OQ的斜率分别为K_OP，K_OQ，试将K_OP•K_OQ表示成m的函数，并求其最小值．

Answer 1

分析：（1）设E为CD与AB的交点，由|AB|=

4 2

3

，得|CE|=

|BC|2-| AB 2 |2

=

1-| 2 2 3 |2

=

1

3

，|MP|=

|MA|2-| AB 2 |2

=

1-( 2 2 3 )2

=

1

3

，由此能求出直线MQ的方程．
（2）设E（x，y），D（0，a）由点C，E，D在一条直线上，得

a

-2

=

y-0

x-2

，a=

-2y

x-2

，由△ECB∽△BCD可得：|BC|²=|CE||CD|，由此能求出动弦AB的中点的轨迹方程E．
（3）设P、Q两点的坐标分别为（x₁，y₁）和（x₂，y₂），联立(x-

7

4

)2+y2=

1

16

(x＜2)和y=x+m得x2+(m-

7

4

)x+

m2+3

2

=0，由此能将K_OP•K_OQ表示成m的函数，并求其最小值．

解答：解：（1）设E为CD与AB的交点，由|AB|=

4 2

3

，
可得|CE|=

|BC|2-| AB 2 |2

=

1-| 2 2 3 |2

=

1

3

，
|MP|=

|MA|2-| AB 2 |2

=

1-( 2 2 3 )2

=

1

3

，
由△ECB∽△BCD可得：|CD|=3，
在Rt△DOC中，|OD|=

32-22

=

5

，
所以点D坐标为(0，

5

)或(0，-

5

)，
∴直线MQ的方程是

x

2

+

y

5

=1或

x

2

-

y

5

=1．
即

5

x+2y-2

5

=0或

5

x-2y-2

5

=0
（2）设E（x，y），D（0，a）由点C，E，D在一条直线上，
得

a

-2

=

y-0

x-2

，
∴a=

-2y

x-2

①
由△ECB∽△BCD可得：|BC|²=|CE||CD|，
即

(x-2)2+y2

•

a2+4

=1②
由①②消去a得(x-

7

4

)2+y2=

1

16

(x＜2)．
（3）设P、Q两点的坐标分别为（x₁，y₁）和（x₂，y₂），
联立(x-

7

4

)2+y2=

1

16

(x＜2)和y=x+m，
得x2+(m-

7

4

)x+

m2+3

2

=0，
则KOP•KOQ=

y1y2

x1x2

=

(x1+m)(x2+m)

x1x2

=1+

(x1+x2)m+m2

x1x2

，
将韦达定理代入得KOP•KOQ=1+

( 7 4 -m)m+m2

m2+3 2

=1+

7m

2m2+6

=1+

7

2m+ 6 m

△=(m-

7

4

)2-4

m2+3

2

＞0⇒-m2-

7

2

m-6+

49

16

＞0⇒

- 2 -7

4

＜m＜

2 -7

4

，
且又因为圆(x-

7

4

)2+y2=

1

16

(x＜2)的方程中x＜2，
所以m≠-2，m=-

3

时取得最小值，
最小值为(KOP•KOQ

)

min

=

12-7 3

12

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．