Question

已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是 AB、PC的中点．

(1) 求证：EF∥平面PAD；

(2) 求证：EF⊥CD；

(3) 若∠PDA＝45°，求EF与平面ABCD所成的角的大小．

 

Answer 1

【答案】

(1)见解析 (2) 见解析(3)略

【解析】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的性质，其中（1），（2）的关键是熟练掌握空间中直线与平面平行、垂直的判定定理及性质定理，（3）线面角的求解．

（1）取PO中点H，连FH，AH，由三角形中位线定理，及E为AB中点，可得AEFH为平行四边形，从而EF∥AH，再由线面平行的判定定理得到EF∥平面PAD；

（2）由已知中矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，我们可得PA⊥CD，CD⊥AD，由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD，进而根据线面垂直的性质可得CD⊥AH，结合AH∥EF得到EF⊥CD；

（3）结合（2）中CD⊥平面PAD，我们由线面垂直的第二判定定理可得BA⊥平面PAD，则∠HAD即为二面角F-AB-C的平面角，解三角形HAD即可得到二面角F-AB-C的度数．

解：（1）证明：取PD中点H，连FH，AH

则FH平行且等于CD，又CD平行且等于AB，E为AB中点，∴FH平行且等于AE

∴AEFH为平行四边形，从而EF∥AH，

又EF⊄平面PAD，AH⊂平面PAD，所以EF∥平面PAD

（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，

∴PA⊥CD，又CD⊥AD

∴CD⊥平面PAD，又AH⊂平面PAD，∴CD⊥AH，而AH∥EF，∴CD⊥EF．

（3）由∠PDA＝45°，求EF与平面ABCD所成的角的大小可以解得。