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如图,已知矩形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,AB=2,∠PDA=45°,E、F分别是AB、PC的中点.
(1)求证:EF∥平面PAD;
(2)求异面直线EF与CD所成的角;
(3)若AD=3,求点D到面PEF的距离.
分析:(1)利用线面平行的判定定理进行判断.
(2)利用异面直线所成角的定义求夹角.
(3)利用向量法求点D到面PEF的距离.
解答:解:(1)取PD的中点M,连接AM,FM,
因为E,F分别是AB、PC的中点.
所以MF∥CD,且MF=
1
2
CD,
所以MF∥AE,且MF=AE,
即四边形AEFM为平行四边形.
因为EF?面PAD,所以EF∥平面PAD;
(2)因为PA⊥平面ABCD,矩形ABCD,所以PA⊥CD,CD⊥AD,
所以CD⊥面PAD,
因为AM?面PAD,
所以CD⊥AM,
所以CD与AM所成的角为90°.
由(1)知四边形AEFM为平行四边形,
所以EF∥AM.
所以异面直线EF与CD所成的角为90°.
(3)以A为坐标原点以AB,AD,AP分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
因为∠PDA=45°,所以PA=AD=2,
当AD=3,则P(0,0,2),B(2,0,0),C(2,3,0),D(0,3,0),
因为E是AB的中点,所以E(1,0,0).
PE
=(1,0,-2),
PC
=(2,3,-2)
PD
=(0,3,-2)

设平面PEF的法向量为
n
=(a,b,c)
,则
n
?
PE
=0
n
?
PC
=0

所以
a=2c
2a+3b-2c=0
,不妨设c=1,则a=2,b=-
2
3

n
=(2,-
2
3
,1)
,所以
n
PD
=-
2
3
×3-2×1=-4

|
n
|=
7
3
,|
PD
|=
13

所以点D到面PEF的距离d=
|
n
PD
|
|
n
|
=
4
7
3
=
12
7
点评:本题主要考查线面平行的判定以及异面直线所成角的求法,要求熟练掌握相关的定义和判定定理.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:名师指点学高中课程 数学 高二(下) 题型:044

如图,已知在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,沿对角线AC将△ABC折起,使B点在平面ADC内的射影恰好落在AD上,求:

(1)异面直线AB与CD成的角;

(2)异面直线AB与CD的距离;

(3)二面角B-AC-D的大小.

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科目:高中数学 来源:2014届安徽省高一下学期期中考试数学试卷(解析版) 题型:解答题

如图,已知矩形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,E、F分别是AB、

PC的中点.

(1)求证:EF∥平面PAD;

(2)求证:EF⊥CD;

(3)若ÐPDA=45°求EF与平面ABCD所成的角的大小.

【解析】本试题主要考查了线面平行和线线垂直的运用,以及线面角的求解的综合运用

第一问中,利用连AC,设AC中点为O,连OF、OE在△PAC中,∵ F、O分别为PC、AC的中点   ∴ FO∥PA …………①在△ABC中,∵ E、O分别为AB、AC的中点 ∴ EO∥BC ,又         ∵ BC∥AD   ∴ EO∥AD …………②综合①、②可知:平面EFO∥平面PAD∵ EF Ì 平面EFO   ∴ EF∥平面PAD.

第二问中在矩形ABCD中,∵ EO∥BC,BC⊥CD ∴ EO⊥CD  又    ∵ FO∥PA,PA⊥平面AC  ∴ FO⊥平面AC∴ EO为EF在平面AC内的射影       ∴ CD⊥EF.

第三问中,若ÐPDA=45°,则 PA=AD=BC    ∵ EOBC,FOPA

∴ FO=EO 又∵ FO⊥平面AC∴ △FOE是直角三角形 ∴ ÐFEO=45°

证:连AC,设AC中点为O,连OF、OE(1)在△PAC中,∵ F、O分别为PC、AC的中点∴ FO∥PA …………①    在△ABC中,∵ E、O分别为AB、AC的中点  ∴ EO∥BC ,又         ∵ BC∥AD   ∴ EO∥AD …………②综合①、②可知:平面EFO∥平面PAD    

∵ EF Ì 平面EFO      ∴ EF∥平面PAD.

(2)在矩形ABCD中,∵ EO∥BC,BC⊥CD∴ EO⊥CD  又        ∵ FO∥PA,PA⊥平面AC  ∴ FO⊥平面AC ∴ EO为EF在平面AC内的射影     ∴ CD⊥EF.

(3)若ÐPDA=45°,则 PA=AD=BC         ∵ EOBC,FOPA

∴ FO=EO 又    ∵ FO⊥平面AC   ∴ △FOE是直角三角形 ∴ ÐFEO=45°

 

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科目:高中数学 来源:2010-2011学年江苏省南京市高三第二次模拟考试数学卷 题型:解答题

在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10,共计20分。请在答题卡指定区域作答。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

A、选修4-1:几何证明选讲

   如图,已知梯形ABCD为圆内接四边形,AD//BC,过C作该圆的切线,交AD的延长线于E,求证:ΔABC∽ΔEDC。

B、选修4-2:矩形与变换

已知 为矩阵属于λ的一个特征向量,求实数a,λ的值及A2。

C、选修4-4:坐标系与参数方程

   在平面直角坐标系xoy中,曲线C的参数方程为(α为参数),曲线D的参数方程为,(t为参数)。若曲线C、D有公共点,求实数m的取值范围。

D、选修4-5:不等式选讲

   已知a,b都是正实数,且ab=2。求证:(1+2a)(1+b)≥9。

 

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,已知几何体ABC-DEF中,△ABC及△DEF都是边长为2的等边三角形,四边形ABEF为矩形,且CD=AF+2,CD//AF,O为AB中点.

(1)求证:AB⊥平面DCO

(2)若M为CD中点,AF=x,则当x取何值时,使AM与平面ABEF所成角为45°?

试求相应的x值的.

(3)求该几何体在(2)的条件下的体积.

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科目:高中数学 来源:2011届江苏省南京市高三第二次模拟考试数学卷 题型:解答题

在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10,共计20分。请在答题卡指定区域作答。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
A、选修4-1:几何证明选讲
如图,已知梯形ABCD为圆内接四边形,AD//BC,过C作该圆的切线,交AD的延长线于E,求证:ΔABC∽ΔEDC。

B、选修4-2:矩形与变换
已知为矩阵属于λ的一个特征向量,求实数a,λ的值及A2。
C、选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xoy中,曲线C的参数方程为(α为参数),曲线D的参数方程为,(t为参数)。若曲线C、D有公共点,求实数m的取值范围。
D、选修4-5:不等式选讲
已知a,b都是正实数,且ab=2。求证:(1+2a)(1+b)≥9。

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