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精英家教网如图所示,已知α的终边所在直线上的一点P的坐标为(-3,4),β的终边在第一象限且与单位圆的交点Q的纵坐标为
2
10

(Ⅰ)求sinα、cosβ;
(Ⅱ)若
π
2
<α<π,0<β<
π
2
,求α+β.
分析:(Ⅰ)直接根据三角函数的定义,求出sinα、sinβ,然后再求cosβ;
(Ⅱ)法一由(Ⅰ)可得,cosα,求出α+β的正弦值,根据
π
2
<α<π,0<β<
π
2
,求出α+β.
法二求出α+β的余弦值,说明α+β的范围,然后求解即可.
解答:解:(Ⅰ)根据三角函数的定义可知sinα=
4
5
sinβ=
2
10
.(3分)
根据cos2β+sin2β=1,cos2β=
49
50
,(4分)
又因为β的终边在第一象限,
所以cosβ=
7
2
10
.(5分)

(Ⅱ)法一由(Ⅰ)可得,cosα=-
3
5
,(6分)
π
2
<α<π,0<β<
π
2

π
2
<α+β<
2
.(7分)
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=
4
5
7
2
10
-
3
5
2
10
=
2
2
.(10分)
又∵
π
2
<α+β<
2

α+β=
4
.(12分)

(Ⅱ)法二:由(Ⅰ)可得,cosα=-
3
5
sinβ=
2
10
.(6分)
π
2
<α<π,0<β<
π
2

π
2
<α+β<
2
.(7分)
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=-
2
2
,(10分)
又∵
π
2
<α+β<
2

α+β=
4
4

sinβ=
2
10
2
2

0<β<
π
4

π
2
<α+β<
4
α+β=
4
舍掉
α+β=
4
.(12分)
(注:另解中如果没有舍掉α+β=
4
或者没有说明理由就舍掉α+β=
4
,扣2分)
点评:本题考查任意角的三角函数的定义,两角和与差的余弦函数,两角和与差的正弦函数,考查计算能力,是中档题.
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10

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2
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0<β<
π
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