Question

比较大小：
（1）log₀.₂₇和log_0.29；（2）log₃5和log₆5；
（3）（lgm）^1.9和（lgm）^2.1（m＞1）；（4）log₈5和lg4.

Answer 1

（1）log_0.27和log_0.29可看作是函数y=log_0.2x当x=7和x=9时对应的两函数值，由y=log_0.2x在（0，+∞）上单调递减，得log_0.27＞log_0.29.
（2）考察函数y=log_ax底数a＞1的底数变化规律，函数y=log₃x（x＞1）的图象在函数y=log₆x（x＞1）的上方，故log₃5＞log₆5.
（3）把lgm看作指数函数的底数，要比较两数的大小，关键是比较底数lgm与1的关系.若lgm＞1即m＞10，则（lgm）^x在R上单调递增，
故（lgm）^1.9＜（lgm）^2.1.若0＜lgm＜1即1＜m＜10，则（lgm）^x在R上单调递减，
故（lgm）^1.9＞（lgm）^2.1.
若lgm=1即m=10，则（lgm）^1.9＝（lgm）^2.1.
（4）因为底数8、10均大于1，且10＞8，
所以log₈5＞lg5＞lg4，即log₈5＞lg4.

（1）直接利用对数函数的单调性；（2）是对数函数底数变化规律的应用；（3）是指数函数单调性及对数函数性质的综合运用；（4）是中间量的运用.当两个对数的底数和真数都不相同时，需要找出中间量来“搭桥”，再利用对数函数的增减性.常用的中间量有0、1、2等,可通过估算加以选择.