Question

（2006•石景山区一模）如图所示，已知圆C：（x+1）²+y²=8，定点A（1，0），M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足

AM

=2

AP

，

NP

•

AM

=0，点N的轨迹为曲线E．
（Ⅰ） 求曲线E的方程；
（Ⅱ） 若点B₁（x₁，y₁），B₂（-1，y₂），B₃（x₃，y₃）在曲线E上，线段B₁B₃的垂直平分线为直线l，且|B₁A|，|B₂A|，|B₃A|成等差数列，求x₁+x₃的值，并证明直线l过定点；
（Ⅲ）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足

FG

=λ

FH

，求λ的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由

AM

=2

AP

，

NP

•

AM

=0．可知：NP为线段AM的垂直平分线，利用椭圆的椭圆可得：点N的轨迹是椭圆；
（II）利用椭圆的第二定义可得|B₁A|，|B₂A|，|B₃A|的长度，利用成等差数列，即可得出x₁+x₃；由x₁+x₃=-2，可设线段B₁B₃的中点为（-1，t）．于是

x 2 1 2 + y 2 1 =1 x 2 2 2 + y 2 2 =1 x1+x3=-2，y1+y2=2t

即可得到kB1B3，即可得到直线l的方程，进而得出过定点；
（III）把直线l的方程代入椭圆方程可得△＞0即根与系数的关系，再利用向量相等即可得到λ与k的关系式，利用△＞0即可得到λ的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由题意知，圆C的圆心为（-1，0），半径r=2

2

．
∵

AM

=2

AP

，

NP

•

AM

=0．
∴NP为线段AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM|．
又∵|CN|+|NM|=r=2

2

，∴|CN|+|AN|=2

2

＞2．
∴动点N的轨迹是以点C（-1，0），A（1，0）为焦点且长轴长为2

2

的椭圆．                                               …（2分）
∴a=

2

，c=1，b=1．
∴曲线E的方程为

x2

2

+y2=1．                     …（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，A为椭圆的右焦点，其右准线方程为l₁：x=2
设B₁到直线l₁的距离为d．
根据椭圆的定义知

|B1A|

d

=e=

1

2

，
得|B1A|=

2

2

d=

2

2

(2-x1)=

2

-

2

2

x1．
同理可得：|B2A|=

3 2

2

，|B3A|=

2

-

2

2

x3．       …（5分）
∵|B₁A|，|B₂A|，|B₃A|成等差数列，
∴|B₁A|+|B₃A|=2|B₂A|，代入得x₁+x₃=-2．      …（6分）
下面证明直线l过定点．
由x₁+x₃=-2，可设线段B₁B₃的中点为（-1，t）．
∴

x 2 1 2 + y 2 1 =1 x 2 2 2 + y 2 2 =1 x1+x3=-2，y1+y2=2t

得kB1B3=

y1-y3

x1-x3

=

1

2t

．
∴直线l的斜率k₁=-2t，则直线l的方程为：y-t=-2t（x+1），
即l：2tx+y+t=0．                               …（8分）
∴直线l过定点，定点为(-

1

2

，0)．           　       …（9分）
（Ⅲ）当直线GH斜率存在时，设直线GH方程为y=kx+2，
代入椭圆

x2

2

+y2=1，得(

1

2

+k2)x2+4kx+3=0．
由得k2＞

3

2

．                      　       …（10分）
设G（x₄，y₄），H（x₅，y₅），则x4+x5=

-4k

1 2 +k2

，①
x4x5=

3

1 2 +k2

．      ②
又∵

FG

=λ

FH

，∴（x₄，y₄-2）=λ（x₅，y₅）．
∴x₄=λx₅．    ③
由①②③联立得(

x4+x5

1+λ

)2=x52=

x4x5

λ

，
即

( -4k 1 2 +k2 )2

(1+λ)2

=

3 1 2 +k2

λ

，整理得 

16

3( 1 2k2 +1)

=

(1+λ)2

λ

． …（12分）
∵k2＞

3

2

，∴4＜

16

3 2k2 +3

＜

16

3

，
∴4＜

(1+λ)2

λ

＜

16

3

，解得

1

3

＜λ＜3且λ≠1．
又∵0＜λ＜1，∴

1

3

＜λ＜1．                  …（13分）
当直线GH斜率不存在时，直线GH方程为x=0，此时

FG

=

1

3

FH

，即λ=

1

3

．
∴

1

3

≤λ＜1，即所求λ的取值范围是[

1

3

，1)．          …（14分）

点评：本题综合考查了椭圆的定义及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到△＞0及根与系数的关系、线段垂直平分线的性质、中点坐标公式、等差数列的性质等基础知识与基本技能，考查了较强的计算能力、推理能力和解决问题的能力．