Question

18．判断函数y=$\frac{1}{{x}^{2}-1}$的单调性，并证明．

Answer 1

分析 先判断函数y在（-∞，-1）和（-1，0）以及（0，1）和（1，+∞）上的单调性，
再用单调性的定义证明即可．

解答 解：函数y=$\frac{1}{{x}^{2}-1}$在（-∞，-1）和（-1，0）上是单调增函数，
在（0，1）和（1，+∞）上是单调减函数；
证明如下：任取x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂；
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{{{x}_{1}}^{2}-1}$-$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}-1}$=$\frac{（{{x}_{2}-x}_{1}）{{（x}_{2}+x}_{1}）}{{{（x}_{1}}^{2}-1）{{（x}_{2}}^{2}-1）}$，
∵1＜x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，x₂+x₁＞0，（${{x}_{1}}^{2}$-1）（${{x}_{2}}^{2}$-1）＞0；
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在区间（1，+∞）上是单调减函数；
同理可证，f（x）在区间（-∞，-1）和（-1，0）以及（0，1）上的单调性．

点评 本题考查了函数单调性的判断与证明的应用问题，是基础题目．