Question

已知a，b是方程4x²-4kx-1=0（k∈R）的两个不等实根，函数f(x)=

2x-k

x2+1

的定义域为[a，b]．
（1）当k=0时，求函数f（x）的值域；
（2）证明：函数f（x）在其定义域[a，b]上是增函数；
（3）在（1）的条件下，设函数g(x)=x3-3m2x+

3

5

 (-

1

2

≤x≤

1

2

， 0＜m＜

1

2

)，若对任意的x1∈[-

1

2

，

1

2

]，总存在x2∈[-

1

2

，

1

2

]，使得f（x₂）=g（x₁）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）确定函数解析式，求导函数，确定函数的单调性，从而可求函数f（x）的值域；
（2）确定函数在其定义域[a，b]上，导数为正，即可得到结论；
（3）由题意知：g（x）的值域是f（x）值域的子集，分别确定g（x）的值域、f（x）值域，即可求得实数m的取值范围．

解答：（1）解：当k=0时，4x²-1=0，∴x=±

1

2

，∴f(x)=

2x

x2+1

，x∈[-

1

2

，

1

2

]，
∴

f′(x)= 2(1-x2) (x2+1)2 ＞0

，
∴f（x）在[-

1

2

，

1

2

]上单调递增
∴函数f（x）的值域为[-

4

5

，

4

5

]；
（2）证明：求导函数可得f′(x)=2

-x2+kx+1

(x2+1)2

∵a，b是方程4x²-4kx-1=0（k∈R）的两个不等实根
∴抛物线y=-x2+kx+

1

4

开口向下，两根之内的函数值必为正值
∵当x∈[a，b]，-x2+kx+

1

4

≥0，∴-x²+kx+1＞0，
∴f′(x)=2

-x2+kx+1

(x2+1)2

＞0．
∴函数f（x）在其定义域[a，b]上是增函数；
（3）解：由题意知：g（x）的值域是f（x）值域的子集．
由（1）知，f（x）的值域是[-

4

5

，

4

5

]，g'（x）=3x²-3m²，g'（x）=0⇒x=±m

x	- 1 2	(- 1 2 ，-m)	-m	（-m，m）	m	(m， 1 2 )	1 2
f'（x）		+	0	-	0	+
f（x）	g(- 1 2 )	递增	极大值g（-m）	递减	极小值g（m）	递增	g( 1 2 )

显然

g( 1 2 )≤ 4 5 g(- 1 2 )≥- 4 5

，
∴欲使g（x）的值域是f（x）值域的子集，只需

g(-m)≤ 4 5 g(m)≥- 4 5

，解得：0＜m≤

3	1 10

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与值域，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．