Question

如图所示，向量

BC

的模是向量

AB

的模的t倍，

AB

与

BC

的夹角为θ，那么我们称向量

AB

经过一次（t，θ）变换得到向量

BC

．在直角坐标平面内，设起始向量

OA1

=(4，0)，向量

OA1

经过n-1次(

1

2

，

2π

3

)变换得到的向量为

An-1An

(n∈N*，n＞1)，其中Ai，Ai+1，Ai+2(i∈N*)为逆时针排列，记A_i坐标为（a_i，b_i）（i∈N^*），则下列命题中不正确的是（　　）

A．b2= 3

B．b3k+1-b3k=0（k∈N*）

C．a3k+1-a3k-1=0（k∈N*）

D．8（ak+4-ak+3）+（ak+1-ak）=0（k∈N*）

Answer 1

向量

OA1

=(4，0)，经过1次变换后得到

OA2

=(2cos?

2π

3

，2sin?

2π

3

)=(-1，

3

)，则A2(-1，

3

)，所以a2=-1，b2=

3

，即A正确．
则由题意知

OA

=

OA1

+

A1A2

+…+

An-1An

=(4，0)+(2cos?

2π

3

，2sin?

2π

3

)+(cos?

4π

3

，sin?

4π

3

)+…+((

1

2

)n-3cos?

2(n-1)π

3

，(

1

2

)n-3sin?

2(n-1)π

3

)，
所以an=4+2cos?

2π

3

+cos?

4π

3

+…+(

1

2

)n-3cos?

2(n-1)π

3

，bn=4+2sin?

2π

3

+sin?

4π

3

+…+(

1

2

)n-3sin?

2(n-1)π

3

．
所以b3k+1-b3k=(

1

2

)3k+1-3sin?

2(3k+1-1)π

3

=(

1

2

)3k+1-3sin?

2×3kπ

3

=(

1

2

)3k+1-3sin?2kπ=0，所以B正确．
a3k+1-a3k-1=(

1

2

)3k+1-3cos?

2(3k+1-1)π

3

-(

1

2

)3k-3cos?

2(3k-1)π

3

=(

1

2

)3k-2cos?2kπ-(

1

2

)3k-3cos?(2kπ-

π

3

)
=(

1

2

)3k-2-(

1

2

)3k-3×

1

2

=(

1

2

)3k-2-(

1

2

)3k-2=0，所以C正确．
故错误的是D．
故选D．